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洛谷AC100题纪念。
其实是一个很简单的棋盘形dp，我能想到的有两种做法。
第一种做法是四维dp，这也是最好想的，设f[i][j][k][l]为从小渊传到小轩的纸条到达(i,j)，从小轩传给小渊的纸条到达(k,l)的路径上取得的最大的好心程度和。
完全可以换一个思路想，即求从给定的起点出发走到指定位置的两条最短严格不相交路线。
那么特别显然，转移方程是 f[i][j][k][l]=max( f[i][j-1][k-1][l] , f[i-1][j][k][l-1] , f[i][j-1][k][l-1] , f[i-1][j][k-1][l] )+a[i][j]+a[k][l]。
要小心l的枚举范围，应该是从j+1到m，只有这样，在枚举第二条路的时候可以控制下标的l不会和j有相等的可能，这样可以保证两条路一定不相交（想一想，为什么）
由于终点的值是0，所以目标状态就是f[n][m-1][n-1][m]。
如果你不想这样做，那就让l直接从1枚举，但需要加一个判断，判断当前的(i,j)和(k,l)是不是重合了，如果重合那就把f数组对应的这个地方在转移后减掉一个a[i][j]或者a[k][l]。
原数据比较弱，这个算法时间复杂度是O(n^2 * m^2)的，所以可以过。
第二种做法为三维dp，如果这道题数据被加强了一点，那就应该用这个方法。
仔细观察，我们不难发现一个规律，对于每次转移，这两位同学的纸条走的步数总是相等的，也就是应该总有i+j = k+l = step，我们从这里考虑入手，简化一下那个方程。
我们枚举走的步数，同时枚举第一个人和第二个人的横坐标或者纵坐标，对，只枚举一个就好，另一个可以算出来。
我枚举的是横坐标。
但这样做第一维（也就是枚举步数那一维）要开两倍大小（步数最大有n+m-1），并且需要加入判断重合操作。
优化之后速度比上一个快很多，它的时间复杂度是O(n^2*(n+m)).
法一参考代码：
1 #include2 #define maxn 55 3 using namespace std; 4 int f[maxn][maxn][maxn][maxn],a[maxn][maxn]; 5 int n,m; 6 int max_ele(int a,int b,int c,int d){ 7 if (b>a) 8 a = b; 9 if (c>a)10 a = c;11 if (d>a)12 a = d;13 return a;14 }15 int main(){16 cin >> n >> m;17 for (int i=1;i<=n;i++)18 for (int j=1;j<=m;j++) 19 cin >> a[i][j];20 for (int i=1;i<=n;i++)21 for (int j=1;j<=m;j++)22 for (int k=1;k<=n;k++)23 for (int l=j+1;l<=m;l++) 24 f[i][j][k][l]=max_ele(f[i][j-1][k-1][l],f[i-1][j][k][l-1],f[i][j-1][k][l-1],f[i-1][j][k-1][l])+a[i][j]+a[k][l];25 cout << f[n][m-1][n-1][m] << endl;26 return 0;27 }
法二参考代码：
1 #include2 #include 3 #include 4 #define maxn 55 5 using namespace std; 6 int f[2 * maxn][maxn][maxn]; 7 int a[maxn][maxn]; 8 int n,m; 9 10 int max_ele(int a,int b,int c,int d){11 if (b>a)12 a = b;13 if (c>a)14 a = c;15 if (d>a)16 a = d;17 return a;18 }19 20 int main(){21 cin >> n >> m;22 for (int i=1;i<=n;i++)23 for (int j=1;j<=m;j++)24 cin >> a[i][j];25 for (int k=1;k<=n+m-1;k++)26 for (int i=1;i<=n;i++)27 for (int j=1;j<=n;j++){28 if (k-i+1<1 || k-j+1<1) //这里是判断纵坐标的合法性，如果纵坐标不合法那就跳过去29 continue;30 f[k][i][j] = max_ele(f[k-1][i][j],f[k-1][i-1][j-1],f[k-1][i][j-1],f[k-1][i-1][j]) + a[i][k-i+1] + a[j][k-j+1];31 if (i==j) //判断重合路径32 f[k][i][j]-=a[i][k-i+1];33 }34 35 36 cout << f[n+m-1][n][n] << endl;37 return 0;38 }